​不定积分经典练习，(secx)^3的原函数怎么求？

不定积分经典练习，(secx)^3的原函数怎么求？

#头条创作挑战赛#

正割的立方的原函数至少有三种求法。最简便的方法当然是直接运用公式了。正割的正整数次方的不定积分是有公式的。

教材提供的是递推公式，即将原不定积分记为In的形式，n就是正割的指数，可以将In递推得到I_(n-2)，即每次递推都使指数减少2. 最后就可以得到1的不定积分或secx的不定积分，然后利用1的原函数是x+C或secx的原函数是ln|secx+tanx|+C，就可以得到(secx)^3的原函数了。

这个递推公式是：

In=tanx(secx)^(n-2)/(n-1)+(n-2)/(n-1)*I_(n-2)dx, n≠1.

这里的n=3, 因此得到：

解1：原积分=tanxsecx/2+1/2*I1=tanxsecx/2+1/2*ln|secx+tanx|+C.

这里还有一个问题，或者说有两个问题，是一个问题的两种情况。首先，当n很大的时候，你很难通过这样一步一步往下递推去得到原函数。比如当n=13时，你可以试一试，那将是多大的递推工程。甚至当n=99999时，相信把它解出来和“愚公移山”的难度可以相提并论了。

这个时候我们就需要一个公式的最终形态，而不单单是教材提供的递导公式了。不要担心，老黄已经为你推导出这个公式了。公式需要根据n的奇偶性分类讨论，如下：

老黄顺带把余割的正整数次方的不定积份公式都推出来了。因此，就给我们提供了第二种解法，就是直接运用它的最终公式形态，得到：

解2：原积分=(ln|secx+tanx|)/2+tanx/2*∑(i=1)((2-2i)‼(secx)^(3-2i)/(3-2i)‼ +C.

当n太大的时候，直接以公式的形式做答案就可以了。如果需要展开，就交给计算机程序去完成就可以了。当然，这里的n=3，比较小，我们可以轻松把它展开，结果和解1是一致的。

而当n比较小时，我们并不一定要直接运用公式。因为直接运用公式对学习其实并不是特别有好处。我们可以手撕这个不定积分，相当于探究公式的推导过程。

解3：∫(secx)^3dx=∫secxdtanx【根据dtanx=(secx)^2dx凑微分】

=secxtanx-∫tanxdsecx【运用了分部积分公式】

=secxtanx-∫(tanx)^2secxdx【根据dsecx=secxtanxdx】

=secxtanx-∫((secx)^2-1)secxdx【根据(secx)^2-1=(tanx)^2】

=secxtanx-∫((secx)^3-secx)dx【运用了乘法分配律，讲这么详细，真是有点失礼了】

=secxtanx-∫(secx)^3dx+∫secxdx【运用了不定积分的线性法则】

=secxtanx-∫(secx)^3dx+ln|secx+tanx|+C1【运用了正割的积分公式】

∴原积分=tanxsecx/2+1/2*ln|secx+tanx|+C.【移项，合并同类项，化系数为1】

三种解法，能不能让你领会一些求不定积分的真谛了呢？